sottotitolo: "Se sbagliano i migliori magari è concesso anche a noi."
Il problema della mensola caricata all'estremità fu affrontato da Galileo Galilei e occupò scienziati per oltre 2 secoli. In particolare viene posta attenzione sull'importanza dell'altezza della sezione della mensola.
Galileo dice:
"Il momento della forza posta in C al momento della resistenza, che sta nella grossezza del prisma, [....] ha la medesima proporzione che la lunghezza CB alla metà della BA; .e però l'assoluta resistenza all'esser rotto, … all'esser rotto con l'aiuto della leva BC, ha la medesima proporzione che la lunghezza BC alla metà di AB "
L'assoluta resistenza è la resistenza a trazione della sezione. Galileo stabilisce che il meccanismo di rottura di una mensola caricata a sbalzo possa essere assimilato a quello di una leva e quindi che la trave tende a ruotare intorno al bordo inferiore B mentre, nella realtà, come già sapeva il grande Leonardo da Vinci 150 anni prima e come in seguito dimostrerà Navier, ruota intorno ad un asse a metà tra il piano superiore e quello inferiore.
Per le ipotesi di Galileo abbiamo:
Per la teoria elastica di Navier invece abbiamo:
Facendo un rapporto tra i due momenti resistenti della sezione vediamo come Galileo Galilei avesse sovrastimato di 3 volte la resistenza della mensola.
Pensiero completo di Galileo:
"[...] Non sarà difficile l’intender la ragione onde avvenga che un Prisma o Cilindro solido, di vetro, acciaio, legno o altra materia frangibile, che sospeso per lungo sosterrà gravissimo peso che sia attaccato, ma in traverso (come poco fa dicevamo) da minor peso assai potrà tal volta essere spezzato, secondo che la sua lunghezza eccederà la sua grossezza. Imperò che figuriamoci il Prisma solido ABCD, fitto in un muro dalla parte AB, e nell’altra estremità si intenda la forza del peso E (intendendo sempre, il muro esser eretto all’Orizzonte, e il Prisma o Cilindro fitto nel muro ad angoli retti): è manifesto che, dovendosi spezzare, si romperà nel luogo B, dove il taglio del muro serve per sostegno, e la BC per la parte della Leva dove si pone la forza; e la grossezza del solido BA è l’altra parte della Leva, nella quale è posta la resistenza, che consiste nello staccamento che s’ha da fare della parte del solido BD, che è fuor del muro, da quella che è dentro: e per le cose dichiarate, il momento della forza posta in C al momento della resistenza, che sta nella grossezza del Prisma, cioè nell’attaccamento della base BA con la sua contigua, ha la medesima proporzione che la lunghezza CB alla metà della BA; e però l’assoluta resistenza all’esser rotto, che è nel Prisma BD (la quale assoluta resistenza è quella che si fa col tirarlo per diritto, perché allora tanto è il moto del movente quanto quello del mosso), all’esser rotto con l’aiuto della leva BC, ha la medesima proporzione che la lunghezza BC alla metà di AB nel Prisma, che nel Cilindro è il semidiametro della sua base."
Riferimenti:
Sottolineo un errore nella prima formula dove al primo membro sigma l non va dimezzato.
RispondiEliminaBuongiorno Massimo, non ho ben capito di quale errore stavi parlando comunque ho riformulato il procedimento nella speranza di renderlo più chiaro.
EliminaBraian